I TANGRAM

In preparazione ad un superprogetto, abbiamo fatto una lezione relativa ai Tangram, che personalmente non conoscevo, così ho approfondito l’argomento per saperne di più.

Il tangram è un antico gioco di origine cinese, ottenuto scomponendo un quadrato in sette parti dette tan: un quadrato, un romboide, e cinque triangoli rettangoli isosceli, di cui due grandi, uno medio e due piccoli.
E’ conosciuto come “Le sette pietre della saggezza” perché si diceva che la padronanza di questo gioco fosse la chiave per ottenere saggezza e talento.
Poco o nulla si sa circa le origini del gioco; persino l’etimologia del nome non è chiara.
Combinando opportunamente i pezzi del Tangram, è possibile ottenere un numero pressoché infinito di figure, alcune geometriche, altre che ricordano oggetti d’uso comune, ecc. Qualsiasi figura realizzata con il Tangram deve essere costituita impiegando tutti i sette pezzi.
Giocare con il tangram può sembrare facile, soprattutto quando lo si vede già assemblato sotto forma di quadrato, ma non lo è, soprattutto se si è alle prime armi.
Nel gioco del tangram, così come per l’origami, accade che, malgrado la semplicità del materiale impiegato, si possono realizzare sia figure geometriche – come il quadrato – in cui si annullano le caratteristiche dei vari tan, sia figure di ogni tipo in cui invece le caratteristiche di ciascun tan vengono messe in risalto. Alcune figure sono così espressive da sembrare vive e articolate.
È anche possibile rappresentare lo stesso soggetto in posizioni differenti e quindi il tangram si può utilizzare anche per illustrare storie e per realizzare cartoni animati.
Una caratteristica notevole di molte figure tangram è quella di suggerire all’immaginazione molto più di quanto effettivamente rappresentano: di fatto si tratta di illusioni ottiche; le figure tangram nella loro essenzialità ed efficacia offrono una ricchezza percettiva simile a quella della pittura zen che si basa sull’idea che “la tavolozza della mente è più ricca di quella del pennello”.
Le figure tangram ricordano nella loro espressività le silhouettes o i giochi d’ombra con le mani.
Il tangram offre così notevoli spunti allo studio della percezione visiva e può essere impiegato come base di test psicologici.

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IL LUNGO VIAGGIO DELLE BALENE

Nel corso di una lezione, prima di iniziare a svolgere un lavoro con Iplozero, il professor Lariccia ci ha parlato della lunghezza incredibile dei viaggi che compiono le balene passando da un mare all’altro.

Tale argomento mi ha molto colpita, e per questo ho deciso di approfondirlo, riportando di seguito un articolo di giornale che parla proprio di tale argomento.

È partita dall’Alaska e, quindicimila chilometri dopo, è approdata sulle coste orientali del mare nostrum, dove ha fatto strabuzzare gli occhi a un gruppo di ricercatori israeliani. Che ci fa una balena grigia nel Mediterraneo? Era da più di trecento anni che non si avvistava un esemplare di questa specie dalle nostri parti come nell’Oceano Atlantico: la caccia alle balene, tra il XVII e il XVIII secolo, li aveva fatti sparire tutti. Per questo è stata enorme la sorpresa dei ricercatori israeliani dell’Immrac nel confermare quanto una serie di avvistamenti lasciava supporre da giorni: il mammifero rintracciato al largo di Herzliya era proprio uno dei diecimila esemplari di Eschrichtius robustus – il nome scientifico della balena grigia – che vive solo nell’Oceano Pacifico.

Per arrivare fino al Mediterraneo, la balena avrebbe dovuto percorrere 30 mila chilometri, passando a sud dell’Africa. Impossibile, o altamente improbabile, per una specie abituata a migrazioni lunghe al massimo la metà. Così, davanti a Aviad Scheinin dell’Immrac s’è profilata un’altra ipotesi, quella ora più accreditata dal centro di ricerca: “La balena è arrivata fino a noi seguendo una rotta nuova, quella del passaggio a nord ovest: la lingua di mare che costeggia l’Alaska e il Canada settentrionale e che sta tornando praticabile per via del progressivo scioglimento dei ghiacci. D’estate, la riduzione imponente dei ghiacci permette il transito di grosse navi. E, quindi, anche delle balene”. Quello avvistato

// // nel Mediterraneo era un esemplare di adulto lungo circa dodici metri e pesante intorno alle venti tonnellate. Il mammifero era in buone condizioni di salute, forse solo un po’ magro dopo tanto peregrinare.

La balena grigia vive per buona parte dell’anno nell’Oceano Pacifico settentrionale in prossimità dell’Alaska, ma quando deve mettere al mondo i propri piccoli va in cerca di acque più calde e scende a sud costeggiando gli Stati Uniti per arrivare nelle coste della California o del Messico. Una migrazione di 15-16mila chilometri l’anno. Ma mai l’esemplare aveva costeggiato il Nord America per arrivare nell’Atlantico. Per tutto il secolo scorso la sua sopravvivenza è stata fortemente compromessa anche nell’Oceano Pacifico. Nel 1946, il numero di esemplari rimasti si era ridotto al punto da spingere la comunità internazionale a sottoscrivere un trattato contro la caccia. Da allora, il numero di esemplari è cresciuto e oggi se ne contano diecimila.

Adesso è partita di nuovo la caccia alla balena grigia, ma per fotografarla. Se l’esemplare avvistato in Israele non è un’eccezione, altri possono averla seguita o la seguiranno. È dunque ipotizzabile che l’Eschrichtius robustus possa ripopolare di nuovo l’oceano. Il rovescio della medaglia è che a rendere possibile questa migrazione è lo scioglimento dei ghiacci artici in seguito al riscaldamento globale. Una seconda traccia del global warming nell’Atlantico del nord è la presenza di grandi quantità di plancton, una situazione che non si verificava da almeno 800 mila anni. Spiega Katja Philippart della Royal Netherlands Institute of Sea Research: “L’apertura del passaggio a nord overt sta avendo implicazioni importantissime sulla salinità e la chimica delle acque degli oceani. Per ora non possiamo dire se le conseguenze saranno sempre positive, come nel caso del ritorno di specie scomparse. Di certo stiamo assistendo a cambiamenti velocissimi, da tenere sotto controllo”.

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L’ORIENTAMENTO DEI PIPISTRELLI

Nel corso di una lezione di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore, il professor Lariccia ci ha parlato dell’orientamento dei pipistrelli e la cosa mi ha molto incuriosita, così sono andata alla ricerca di informazioni sull’argomento.

Ho scoperto che c’è un professore di statistica nel regno animale, i suoi calcoli però non gli servono per elaborare sondaggi ma per sopravvivere. E’ il pipistrello, che Lutz Wiegrebe della Ludwig Maximilians University ha scoperto capace di trattare statisticamente l’eco di oggetti complessi come gli alberi.
Grazie a questa capacità di analizzare le onde acustiche riflesse, i pipistrelli sono esperti botanici: facendo una media dei segnali ricevuti possono distinguere un pino da una quercia, spiega lo scienziato sulla rivista dell’Accademia Americana delle Scienze (Pnas). Per capire il loro trucco Wiegrebe ha messo alla prova i pipistrelli frugivori dal naso a lancia (Phyllostomus discolor), analizzando la loro tattica di fronte a oggetti contorti.
Lo scienziato ha usato fantocci di varia forma intricati come alberi, ciascuno con un gran numero di superfici, fino a un massino di 4.000. Alcuni oggetti avevano tantissime superfici riflettenti onde di scarsa intensità e quasi uguali tra loro, qualcosa di simile a un pino con la sua miriade di piccoli aghi.
Altri fantocci erano simili ad una quercia, con meno superfici ma diverse tra loro e quindi in grado di inviare segnali variamente intensi. Entrambi i sistemi sono caotici, ma il pino è nel complesso più regolare perchè ha tantissime superfici tutte uguali, mentre la quercia è più rugosa.
In ogni caso il pipistrello non ha tempo di contare uno per uno i segnali, né di impazzire seguendo i microscopici movimenti del fogliame. Quel che fa invece è crearsi un’idea generale della rugosità complessiva dell’oggetto. In questo modo carpisce la sua immagine senza dover memorizzare il pattern preciso dei segnali e questo gli basta non solo per non andare a sbattere, ma anche per sapere senza errore dove andare a cercare un buon pasto.

 

 

NDGZ

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VIA A UN NUOVO CORSO!!

D’ora in poi posterò nuovi articoli relativi al mio rapporto con la geometria e a tante curiosità trattate durante il cosro di ” Matematiche elementari da un punto di vista superiore” del terzo anno.

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GLI ANIMALI SANNO CONTARE!

I leoni sanno contare

 Koehler e molti altri scienziati condussero diversi esperimenti con gli animali, confermando le loro capacità numeriche.

L’esperimento più curioso  e spettacolare è sicuramente quello condotto da Karen McComb, dell’Università del Sussex, nel Parco del Serengeti, in Tanzania. Una leonessa isolata sente un ruggito che non riconosce e ne deduce che debba esserci un intruso nel suo territorio. Si ferma per decidere se attaccarlo o no, sarebbe uno scontro alla pari, uno contro uno, e potrebbe anche avere la peggio. Per questo prosegue e raggiunge il suo gruppo per essere così al sicuro. Alcuni giorni dopo sente ancora un ruggito e poi un coro  di ruggiti sovrapposti, nessuno dei quali le è famigliare e ne deduce che ci sono tre intrusi. Questa volta però è in compagnia di quattro leonesse del suo gruppo. Loro sarebbero quindi in cinque contro tre. A questo punto una leonessa, la leader del gruppo incomincia ad avvicinarsi al punto di origine dei ruggiti, una macchia di alberi ad alcune centinaia di metri di distanza. Dapprima cautamente e poi quando le altre la raggiungono, sempre più rapidamente, si lancia poi alla carica, a capofitto, fra gli alberi. Nella macchia però non c’è traccia di intrusi. I ruggiti provenivano da un altoparlante sistemato da McComb per realizzare il suo esperimento.

E’ Brian Butterworth, docente di neuropsicologia all’University College di Londra, che descrive questo esperimento e osserva: “La migliore spiegazione del comportamento della leonessa leader è che essa abbia enumerato  i ruggiti percepiti e le leonesse del suo gruppo, e abbia fatto un raffronto tra i due numeri. Questo è un fatto notevole, perché il numero degli intrusi viene ricavato dal suono che essi producono (perché non sono visibili), mentre il numero dei difensori  si ricava da un altro senso o da altri sensi, fra cui la vista, e viene poi immagazzinato nella memoria della leonessa. Perciò essa deve astrarre la numerosità dei due insiemi – intrusi e difensori – indipendentemente dal senso con cui li percepisce e poi raffrontare queste numerosità astratte”.

Un dubbio: sono soltanto le leonesse a saper contare o anche i loro compagni? Forse, i leoni, più pigri per natura, lasciano questo impegno alle leonesse?

 Ratti astuti  e numerati

Anche i ratti hanno un senso del numero, come dimostrarono alcuni esperimenti condotti negli anni cinquanta e sessanta. All’inizio gli esperimenti non erano molto convincenti.  Uno, descritto da Keith Devlin, è particolarmente curioso e pur essendo un fallimento sulla verifica delle abilità numeriche dei ratti, dimostra però la loro astuzia. I ratti venivano posti in un corridoio sul quale si aprivano numerose porticine, tutte chiuse tranne una. In una fila di dieci porte, ad esempio, solo la numero 7 si poteva aprire e dietro era nascosta una certa quantità di cibo. I ricercatori volevano vedere se, dopo un certo numero di tentativi, i ratti avrebbero imparato a ignorare le prime sei porte, puntando direttamente alla 7. L’esperimento all’apparenza fu un grande successo. Dopo un certo numero di prove, gli animali si precipitarono a gran velocità fino alla porta 7 e poi l’aprivano per arrivare al cibo. Un’analisi più accurata condotta sulle videoregistrazioni degli esperimenti esaminate al rallentatore, rivelò che i ratti, mentre sfrecciavano lungo il corridoio, assestavano un leggero colpo a ogni porta con la zampetta posteriore, finché non trovavano quella che cedeva. A quel punto si bloccavano dov’erano e si precipitavano sul cibo. “L’insegnamento che i ricercatori trassero dalla prova – commenta Devlin – fu di stare molto attenti nell’interpretare le proprie osservazioni: non sempre le cose sono quelle che sembrano”. Successivi esperimenti, condotti con maggior attenzione da Francis Mechner e da altri studiosi di psicologia animale, hanno dimostrato che i ratti hanno un preciso “senso del numero”. I ratti vennero messi in una gabbia chiusa dove si trovavano due tasti A e B. Per ottenere il premio, una piccola razione di cibo, i ratti dovevano premere il tasto A un certo numero di volte e solo in seguito potevano passare al tasto B e ottenere la ricompensa. Se sbagliavano la sequenza prevista, invece del cibo c’era una penitenza, ricevevano ad esempio una leggera scossa elettrica oppure si spegneva la luce. Dapprima i ratti si resero conto che dovevano premere più volte il tasto A e una sola volta il tasto B. In seguito riuscirono a precisare meglio il “più volte” e dopo un certo addestramento riuscirono a premere il tasto A un numero di volte corrispondente al numero “n” scelto dall’addestratore. Non sempre però il numero “n” era preciso ma approssimato. Se, ad esempio,  veniva richiesto di premere il tasto A 4 volte, la loro risposta poteva  variare da3 a 7. L’esperimento venne ulteriormente precisato introducendo un altoparlante che emetteva una sequenza di suoni. In questo modo si arrivò alla conferma della capacità dei ratti di saper riconoscere il numero  approssimativo di oggetti, di suoni, di bocconi di cibo o di altre azioni. Questa capacità di generalizzare da modalità di percezione o di azione differenti è un elemento importante – osserva Dehaene – di quello che chiamiamo il “concetto di numero”. Negli animali gli esperimenti di generalizzazione di questo concetto di numero, presentato in modi diversi, sono ancora scarsi.

 

 

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PERCHE’ SPESSO LA MATEMATICA NON PIACE?

Che ci sia un problema lo sappiamo tutti. Nonostante gli sforzi eroici di alcuni (molti) insegnanti validi e preparati, la quasi totalità degli studenti rimane con un’impressione profondamente sbagliata. Dopo 13 anni di studio (5 di elementari+ 3 di medie + 5 di superiori), la maggior parte delle persone, non solo in breve tempo avrà grosse difficoltà a fare un ragionamento matematico che vada al di là delle quattro operazioni (fate un test con un trentenne medio su cosa si ricordi della matematica studiata a scuola), ma soprattutto avrà sviluppato un’incredibile avversione verso questa scienza, che solo nel migliore dei casi si declinerà in un semplice riconoscimento di inadeguatezza (“proprio non la capivo”) con annesso senso di colpa, quando non si sarà trasformata in un vero e duraturo disgusto (e odio verso i professori di matematica). È vero, questo succede un po’ per tutte le materie. I capolavori della letteratura italiana e straniera, una volta passati per il “tritacarne scolastico”, difficilmente conserveranno il loro fascino (incidentalmente, è forse una fortuna che parti essenziali della cultura contemporanea, come il cinema, i fumetti, la musica (non classica), la letteratura contemporanea, non vengano toccati in modo sostanziale dal suddetto tritacarne). Ma per la matematica questo problema è sicuramente più marcato.
Ha ragione Paul Lockart nel suo “A mathematician’s lament” (tradotto in Italia con il titolo forse un po’ disorientante “Contro l’ora di matematica“) quando dice che il metodo usato per l’insegnamento della matematica oggi, corrisponderebbe per la musica a imparare tutta la notazione musicale e le regole dell’armonia senza mai arrivare a suonare una nota. Manca insomma la cosa principale, imparare ad affrontare problemi interessanti, e ci si concentra molto sulla nomenclatura (ascissa e ordinata, numeratore e denominatore, quoto (sic! mi sono dovuto far spiegare cosa fosse), apotema, minuendo e sottraendo, equazioni numeriche fratte), e su regole abbastanza inutili. Le regole sulle proporzioni che confondono solo le idee e poi, dopo un anno di esercizi, non si trova un adulto che capisca le percentuali(*). L’inutile regola di Ruffini. Le formule di prostaferesi, senza mai far vedere cose interessanti come il calcolo della distanza di oggetti reali con la trigonometria. La razionalizzazione, che forse nasce nei tempi in cui i numeri irrazionali non erano ben capiti e accettati, ma che non ha senso in nessun contesto moderno (ma perché non dovrei dividere per radice di 2?). Una matematica arbitraria, mnemonica che spegne le idee e si presenta con la spigolosità, e anche il fascino, di un contratto assicurativo dove siamo sempre noi ad avere le peggio (e un sacco di roba è scritta piccola piccola). Non ci si abitua ad avere delle idee, a impostare i problemi, a capire le connessioni tra le cose e mancano del tutto l’immaginazione e la fantasia,  che invece sono ciò che meglio caratterizza la matematica.
Cosa si può fare allora concretamente per cambiare le cose? Di idee ce ne sono tante in giro, e il sito divulgativo Maddmaths! della Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale, ha appena aperto un Forum per cercare di raccogliere idee per rendere più attraente l’insegnamento della matematica.

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BISOGNA ESSERE UN GENIO PER FARE MATEMATICA?

Questa è una domanda che si sono spesso posti moltissimi bambini, adolescenti e talvolta genitori di fronte magari ad un esercizio di matematica complicato, che non riuscivano proprio a risolvere.

Per cercare di trovare una risposta a questa domanda, riporto qui l’opinione in proposito di un grande filosofo del XX secolo.

Bisogna essere un genio per fare matematica?

 

La risposta è un NO enfatico. Per dare dei contributi buoni ed utili alla matematica, uno deve lavorare duramente, conoscere bene un settore, conoscere altri settori e altri strumenti, fare domande, parlare con altri matematici e pensare al “quadro d’insieme”. E sì, sono anche richieste una ragionevole quantità di intelligenza, pazienza e maturità . Ma non serve una qualche sorta di magico “gene del genio” che spontaneamente generi ex nihilo profonde intuizioni, soluzioni inaspettate ai problemi, o altre abilità soprannaturali.
L’immagine popolare del genio solitario (e forse anche un po’ matto), che ignora i lavori precedenti e la conoscenza convenzionale e riesce, con qualche inesplicabile ispirazione (potenziata, forse, da un tocco a piacere di sofferenza ) ad inventarsi un’originale soluzione mozzafiato ad un problema che aveva messo in difficoltà tutti gli esperti, è un’immagine affascinante e romantica, ma anche parecchio sbagliata, almeno nel mondo della matematica moderna. Ci sono ovviamente risultati e intuizioni spettacolari, profondi e notevoli in questo campo, ma sono il faticoso raggiungimento finale di anni, decenni, o anche secoli di costante lavoro e progresso compiuto da molti grandi e bravi matematici; il progresso da uno stadio di comprensione al successivo può essere terribilmente non banale, e spesso piuttosto inaspettato, ma tuttavia si costruisce sulla base dei lavori precedenti, piuttosto che ripartendo totalmento da zero.

In effetti, trovo che la realtà della ricerca matematica attuale, in cui i progressi sono ottenuti naturalmente e in modo cumulativo come conseguenza di un duro lavoro, diretto dall’intuizione, dagli studi precedenti e da un pizzico di fortuna, sia molto più soddisfacente dell’immagine romantica che avevo da studente, di una matematica che progrediva  principalmente grazie alla mistica ispirazione di una rara stirpe di persone “geniali”. Questo“ culto del genio” comporta infatti non pochi problemi, poiché nessuno è capace di produrre queste (molto rare) ispirazioni su base anche approssimativamente regolare, e con con un’affidabile e consistente correttezza. (Se qualcuno mostra di farlo, sono del parere di rimanere molto scettico sulle loro affermazioni.) Lo sforzo di provare a comportarsi in questo modo impossibile può portare alcune persone a diventare troppo ossessionate con i “grandi problemi” e le “grandi teorie”, altri a perdere quel sano scetticismo nel proprio lavoro o nei loro strumenti, e altri ancora a diventare troppo scoraggiati per continuare a fare matematica. Inoltre, attribuire il successo al talento innato (che è al di là del proprio controllo) piuttosto che ai propri sforzi, alla pianificazione, all’istruzione (che invece sono in qualche modo controllabili) può portare ad altri problemi ancora.

 

Certamente, anche se uno lascia perdere la nozione di genio, sarà ancora possibile che in un dato istante di tempo alcuni matematici siano più veloci, con maggiore esperienza, maggiori conoscenze, più efficienti, più attenti, o più creativi di altri. Questo non implica, tuttavia, che soltanto i “migliori” matematici debbano fare matematica; questo è l’errore comune di scambiare il vantaggio assoluto per il vantaggio comparato. Ci sono talmente tanti settori di ricerca matematica interessanti e problemi da risolvere, molto più di quelli che possono essere trattati in dettaglio dai “migliori” matematici, e qualche volta l’insieme degli strumenti e delle idee che possiedi ti permetterà di trovare qualche cosa che altri bravi matematici non hanno visto, anche perché anche i più grandi matematici avranno pure loro delle debolezze in alcuni aspetti della ricerca matematica. Fino a che riesci ad imparare, hai delle motivazioni, e abbastanza talento, ci saranno sempre alcune parti della matematica in cui potrai dare un solido e utile contributo. Potrebbe non essere la parte più “glamour” della matematica, ma in pratica questo porta a una cosa abbastanza sana; in molti casi viene fuori che i banali aspetti pratici di un argomento sono molto più importante di qualsiasi sofisticata applicazione. Inoltre, è anche necessario “fare pratica” in qualche parte non-alla-moda di un certo settore prima di poter avere la possibilità di confrontarsi con un famoso problema; date un’occhiata alle prime pubblicazioni di uno qualsiasi dei grandi matematici di oggi per vedere cosa voglio dire

 

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